Альберт Гудмундссон родился 15-го июня 1997-го года в футбольной семье. Его отец, дед и прадед выступали за сборную Исландии и забивали голы в её составе. На молодёжном уровне Гудмундссон начинал играть за "Рейкьявик", но в скором времени продолжил занятия в Голландии. После нескольких лет в "Херенвене" Альберт перебрался в ПСВ. Исландский нападающий поначалу играл преимущественно за резервный состав голландского гранда, однако постепенно подтягивался и к основной команде. В сезоне 2017/18 Гудмундссон провёл 9 матчей за ПСВ и помог команде вернуть себе чемпионский титул.

Дебютировать в футболке сборной Исландии Гудмундссон смог в январе 2017-го года в товарищеском матче против Китая. Следующую игру за национальную команду Альберт провёл только через год, зато отметился в ней хет-триком, трижды расписавшись в воротах Индонезии. Прогресс Гудмундссона позволил ему попасть в заявку исландской сборной на чемпионат мира в России.